Factorizacion

Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

• Binomios

1. Diferencia de cuadrados

1. Suma o diferencia de cubos

1. Suma o diferencia de potencias impares iguales

• Trinomios

1. Trinomio cuadrado perfecto

1. Trinomio de la forma x²+bx+c

1. Trinomio de la forma ax²+bx+c

• Polinomios

1. Factor común

1. Triángulo de Pascal como guía para factorizar

Caso I - Factor común

Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. También se puede describir como buscar el factor común entre los factores.

Factor común trinomio

Factor común por agrupación de términos

 y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

Se puede utilizar como:

Entonces la respuesta es:

https://www.youtube.com/watch?v=pkWYq43L_Es

Caso II - Factor común por agrupación de términos

Para trabajar un polinomios por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso I (Factor común)

https://www.youtube.com/watch?v=Rhttf8bA3v8

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Organizando los términos tenemos

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

https://www.youtube.com/watch?v=4bg8tJLVjrc

Caso IV - Trinomio de forma x2 + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.

Ejemplo:

Ejemplo:

 Caso V - Trinomio de la forma ax² + bx + c

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término(4x²) :

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

Después procedemos a colocar de forma completa el término x² sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x² :

 :

Queda así terminada la factorización :

 :

Caso VI - Suma de cubos 

- Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo (el segundo término puede ser positivo o negativo).

- Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cubos perfectos (es decir números que tienen raíz cúbica exacta, como 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, etc.) y los exponentes de las letras son múltiplos de tres (3, 6, 9, 12, 15p, 18c, etc.).  

- Se extrae la raíz cúbica de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz cúbica normalmente (por ejemplo: 83=2) y a las letras, su exponente se divide entre 3 (por ejemplo: 𝑥63=𝑥2; 𝑦93=𝑦3; 𝑤33=𝑤). Esto se justifica por la propiedad de la radicación: 𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑚𝑛 .

- Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí por multiplicación).

- En el primer paréntesis (llamado FACTOR CORTO) se construye un binomio con las raíces cúbicas que ya se obtuvieron. En el segundo paréntesis (llamado FACTOR LARGO) se construye un trinomio con los términos que se anotaron en el factor corto, en el siguiente orden: el primero al cuadrado, luego el primero por el segundo y, por último el segundo al cuadrado.

- Por último definimos los signos, de la siguiente manera: Si se trata de una suma de cubos, en el factor corto va signo positivo y en el factor largo van signos intercalados iniciando con positivo. Si tenemos una diferencia de cubos, en el factor corto va signo negativo y en el factor largo van signos positivos.

- Los siguientes son los modelos que resumen lo anterior:

Suma de Cubos: 𝑎3+𝑏3= 𝑎+𝑏 𝑎2−𝑎𝑏+𝑏2

Diferencia de Cubos: 𝑎3−𝑏3= 𝑎−𝑏 𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2

IMPORTANTE: En algunas ocasiones el factor corto puede volverse a factorizar (debe revisarse). El factor largo no es necesario inspeccionarlo ya que no permite ser factorizado.

Ejemplo:

Factorizar: 27𝑥3+125𝑦9

Como puede observarse, es un binomio que reúne las características de una suma de cubos perfectos. Entonces, extraemos la raíz cúbica de cada término: 27𝑥33=3𝑥 ; 125𝑦93=5𝑦3.

Ahora procedemos a armar el factor corto y el factor largo, siguiendo las instrucciones que se dieron: = 3𝑥+5𝑦3 3𝑥 2− 3𝑥 5𝑦3 + 5𝑦3 2

Desarrollamos las operaciones pendientes en el factor largo:

= 3𝑥+5𝑦3 9𝑥2−15𝑥𝑦3+25𝑦6

Factorizar: 64𝑝15−343𝑡6

Como puede observarse, es un binomio que reúne las características de una diferencia de cubos perfectos. Entonces, extraemos la raíz cúbica de cada término: 64𝑝153=4𝑝5 ; 343𝑡63=7𝑡2.

Ahora procedemos a armar el factor corto y el factor largo, siguiendo las instrucciones que se dieron: = 4𝑝5−7𝑡2 4𝑝5 2+ 4𝑝5 7𝑡2 + 7𝑡2 2

Desarrollamos las operaciones pendientes en el factor largo:

= 4𝑝5−7𝑡2 16𝑝10+28𝑝5𝑡2+49𝑡4 ç

Operación con números fraccionarios

   MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Se escribe como (M C M) 

de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo común de todos ellos. Este concepto ha estado ligado históricamente con números naturales

EJEMPLO

Se puede escribir así (Gráfico numero uno) 

Tenga en cuenta:

 (MULTIPLICA POR EL-NUMERO MAS PEQUEÑO QUE DE SU RESULTADOS SEA UN ENTERO) 

EJEMPLO 

MÁXIMO COMÚN DIVISOR 

Llamado como (M C D) 

de dos o más números enteros al mayor número entero que los divide sin dejar resto.

Cálculo del máximo común divisor

1 Se descomponen los números en factores primos.

2 Se toman los factores comunes con menor exponente.

3 Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el mcd.

Ejemplo de cálculo de máximo común divisor

Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60:

1

Solución:

72 = 2³ · 3²

108 = 2² · 3³

60 = 2² · 3 · 5

2 m. c. d. (72, 108, 60) = 2² · 3 = 12

12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

BASES ARITMÉTICAS 

En un sistema de numeración pocisional, se le llama base al número que define el orden de magnitud en que se ve incrementada cada una de las cifras sucesivas que componen el número. Es también la cantidad de símbolos presentes en dicho sistema.

Bases mas comunes 

Base	Sistema
2	Sistema binario
3	Sistema ternario
5	Sistema quinario
8	Sistema octal
10	Sistema decimal
12	Sistema duodecimal
16	Sistema hexadecimal
20	Sistema vigesimal
60	Sistema sexagesimal
64	Base 64

Sistema de numeración 2

Llamado Sistema Binario 

En ciencias de la computación, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1)

 Es uno de los que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo cual su sistema de numeración natural es el sistema binario.

Ejemplo: 

1- Transformar el número decimal 100 en binario.

Para poder sacar nuestro binario cojeamos un numero cualquiera y ese numero lo dividimos en 2 (dos), todo tiene que dar numero natural  y no en un numero decimal el que no lo tenga sele resta 1.  

100|0




50|0



--> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo entre 2



12|0





25|1

6|0
 
3|1


 

1|1   --> 
 

Sistema de numeración 3

Llamado El sistema Ternario 

Es un sistema de numeración posicionar en que todas las cantidades se representan con base 3, es decir, utilizando sólo tres cifras: 0, 1 y 2.

Se divide el numero del sistema decimal entre 3, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 3, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del ultimo al primero, este seta el numero ternario que buscamos.

Ejemplo:

                               Gráfico 1

                          Gráfico 2

Sistema de numeración 5

Llamado El sistema Quinario

Es el nombre que se le da a la base 5 constantes. Este sistema tiene su desarrollo en el hecho de que los humanos tienen cinco dedos en cada mano, por lo que es uno de los sistemas de numeración, pero no se usa comúnmente

Ejemplo

1) Transformar el número decimal 5432 en Quinario.

 El método es muy simple:

5432 dividido entre 5 da 1086 y el resto es igual a 2

1086 dividido entre 5 da 217 y el resto es igual a 1

 217 dividido entre 5 da 43 y el resto es igual a 2

 43 dividido entre 5 da 8 y el resto es igual a 3

 8 dividido entre 5 da 1 y el resto es igual a 3

 1 dividido entre 5 da 0 y el resto es igual a 1

R/ Ordenamos los restos, del último al primero que estan de colores: 1332125

                       Gráfico 3

Ejemplo

transformar el número decimal 131 en Quinario

El método es muy simple:

131 dividido entre 5 da 26 y el resto es igual a 1 

26 dividido entre 5 da 5 y el resto es igual a 1 

5 dividido entre 5 da 1 y el resto es igual a 0 

1 dividido entre 5 da 0 y el resto es igual a 1

 R/ Ordenamos los restos, del último al primero que estan en colores: 11015

Sistema de numeración 8

Llamado El sistema Octal

El sistema Numérico en base 8 se llama octal y utiliza los dígitos 0, 1, 2. 3. 4, 5, 6, 7.

Tenemos dos formas de realizar la conversión: 

A- Dividir el número decimal entre 8, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 8, y así sucesivamente. 

B-  Pasar el número decimal a binario y posteriormente este número binario a octal(en este proceso podemos observar la influencia de los binarios en los octal y viceversa).

Ejemplo 1: 

    Grafico 4

Ejemplo 2:

      Grafico 5

Sistema de numeración 10

Llamado Sistema Decimal 

Es un sistema de graduación posicionar en el que las cantidades se representan utilizando como base el numero diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes: 

cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8); nueve (9).

       Ejemplos

 Sistema de numeración 12 

Llamado El sistema duodecimal 

Es un sistema de numeración  posicionar usando la notación de doce como su base. En este sistema, el número diez se puede escribir como "A", "T" o "X", y el número once como "B" o "E" para diez y un invertido "3" para once). El número doce se escribe en lugar de "10" en duodecimal, mientras que la cadena de dígitos "12" significa "1 decena y 2 unidades." Del mismo modo, en duodecimal "100" significa "1 gross", "1000" significa "1 gran bruto", y "0.1" significa "1 duodécimo".

Ejemplo: 

Sistema de Numeración 16 

Llamado como El sistema hexadecimal 

(a veces abreviado como Hex, no confundir con sistema sexagesimal) es el sistema de numeración posicional que tiene como base el 16. Su uso actual está muy vinculado a la informática y ciencias de la computación, pues los  computadores suelen utilizar el byte u octeto como unidad básica de memoria

tabla de multiplicación 

En el sistema hexadecimal, al igual que en el sistema decimal, binario y octal, se pueden hacer diversas operaciones matemáticas.

 Entre ellas se encuentra la resta entre dos números en sistema hexadecimal, la que se puede hacer con el método de complemento a 15 o también utilizando el complemento a 16. 

Además de éstas, debemos manejar adecuadamente la suma en sistema hexadecimal

Hexadecimal	Decimal
A	10
B	11
C	12
D	13
E	14
F	15

Suma

• 9 + 7 = 16 
• (16 - 16 = 0 nos llevamos 1 y es = 10 )

En este caso la respuesta obtenida, 16, no está entre el 0 y el 15, por lo que tenemos que restarle 16. Por lo tanto, la respuesta obtenida será 10 (sistema hexadecimal).

Hay que tener cuidado de utilizar correctamente las letras, ya que operar a la vez con letras y números puede crear confusiones.

Resta 

Como podemos hacer la resta de dos números hexadecimales utilizando el complemento a 15.

 Para ello tendremos que sumar al minuendo el complemento a quince del sustraendo, y finalmente sumarle el bit de overflow (bit que se desborda).

Para entender la resta en complemento a 15 lo analizaremos con un ejemplo. Ésta es la resta que tenemos que resolver:

      A4FC9
    -   DE8
    —————————
     ¿?¿?¿?¿?

  

Sistema de Numeración 20 

 Llamado tambien como Un sistema vigesimal 

Es un sistema numérico, para nombrar los números y contar, basado en el número veinte. Este sistema de numeración, junto con el sistema decimal, se halla extendido por casi todo el planeta.

El sistema de numeración decimal, también llamado sistema decimal, es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base aritmética las potencias del númerodiez

Excepto en ciertas culturas, es el sistema usado habitualmente en todo el mundo y en todas las áreas que requieren de un sistema de numeración. 

SISTEMA DE NUMERACIÓN 60 

Llamado también El sistema sexagesimal 

es un sistema de numeración posicional que emplea como base aritmética el número 60.

 Tuvo su origen en la antigua Babilonia. También fue empleado por los árabes durante el califatoomeya. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos).

El número 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60), con lo que se facilita el cálculo con fracciones. Nótese que 60 es el número más pequeño que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

SUMA Y RESTAS

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.

Suma

PRIMER PASO

 Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman.

SEGUNDO PASO

 Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos.

TERCER PASO

 Se hace lo mismo para los minutos.

Resta

PRIMER PASO 

Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos.

SEGUNDO PASO

 paso Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo. A continuación restamos los segundos.

TERCER PASO

Hacemos lo mismo con los minutos.

SISTEMA DE NUMERACIÓN 64

Base 64

 es un sistema de numeración posicional que usa 64 como base.

 Es la mayor potencia de dos que puede ser representada usando únicamente los caracteres imprimibles de ASCII.

 Esto ha propiciado su uso para codificación de correos electrónicos, PGP y otras aplicaciones. 

Todas las variantes famosas que se conocen con el nombre de Base64 usan el rango de caracteres A-Z, a-z y 0-9 en este orden para los primeros 62 dígitos, pero los símbolos escogidos para los últimos dos dígitos varían considerablemente de unas a otras. 

La primera aplicación conocida de la codificación Base 64 para transmisiones electrónicas de datos fue el protocolo Privacy-enhanced Electronic Mail (PEM)