lunes, 4 de mayo de 2015


Factorizacion

Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.

  • Binomios
  1. Diferencia de cuadrados
  1. Suma o diferencia de cubos
  1. Suma o diferencia de potencias impares iguales
  • Trinomios
  1. Trinomio cuadrado perfecto
  1. Trinomio de la forma x²+bx+c
  1. Trinomio de la forma ax²+bx+c
  • Polinomios
  1. Factor común
  1. Triángulo de Pascal como guía para factorizar



Caso I - Factor común

Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. También se puede describir como buscar el factor común entre los factores.


a^2+a b = a (a+b)

9a^2-12ab+15a^3b^2-24ab^3=3a(3a-4b+5a^2b^2-8b^3)

Factor común trinomio

Factor común por agrupación de términos


ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,

ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \, y si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.


Factor común polinomio


Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.


un ejemplo:

5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

(5x^2 + 3x +7) \,



La respuesta es:


(5x^2+3x+7)(x-y) \,



En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

5a^2(3a+b) +3a +b \,




Se puede utilizar como:


5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,

Entonces la respuesta es:
(3a+b) (5a^2+1) \,



Caso II - Factor común por agrupación de términos


Para trabajar un polinomios por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.

Un ejemplo numérico puede ser:
2y + 2j +3xy + 3xj\,
entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:
= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,
Aplicamos el caso I (Factor común)
= 2(y+j)+3x(y+j)\,
= (2+3x)(y+j)\,

https://www.youtube.com/watch?v=Rhttf8bA3v8

Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,
(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,
Ejemplo 1:
(5x-3y)^2 = 25x^2-30xy+9y^2\,
Ejemplo 2:
(3x+2y)^2 = 9x^2+12xy+4y^2\,
Ejemplo 3:
(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,
Ejemplo 4:
4x^2+25y^2-20xy\,
Organizando los términos tenemos
4x^2 - 20xy + 25y^2\,
Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
(2x - 5y)^2\,
Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.


Caso IV - Trinomio de forma x2 + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo:
a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) \,
Ejemplo:
x^2+5x+6 = (x+3)(x+2)\,


 Caso V - Trinomio de la forma ax2 + bx + c


En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:

4x^2+12x+9\,

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica la expresión por el coeficiente del primer término(4x2) :

4x^2(4)+12x(4)+(9\cdot4)\
4^2x^2+12x(4)+36\,

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x :

6\cdot6=36
6+6=12\,

Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

(4x+6)(4x+6)\,

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :

\frac{(4x+6)(4x+6)}{4}\, :=\frac{(4x+6)}{2}\cdot \frac{(4x+6)}{2}\,

Queda así terminada la factorización :

(2x+3)(2x+3)\, : =(2x+3)^2\,

Caso VI - Suma de cubos 


- Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo (el segundo término puede ser positivo o negativo).


- Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cubos perfectos (es decir números que tienen raíz cúbica exacta, como 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, etc.) y los exponentes de las letras son múltiplos de tres (3, 6, 9, 12, 15p, 18c, etc.).  

- Se extrae la raíz cúbica de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz cúbica normalmente (por ejemplo: 83=2) y a las letras, su exponente se divide entre 3 (por ejemplo: 𝑥63=𝑥2; 𝑦93=𝑦3; 𝑤33=𝑤). Esto se justifica por la propiedad de la radicación: 𝑎𝑚𝑛=𝑎𝑚𝑛 .

- Se abren dos grupos de paréntesis (conectados entre sí por multiplicación).
- En el primer paréntesis (llamado FACTOR CORTO) se construye un binomio con las raíces cúbicas que ya se obtuvieron. En el segundo paréntesis (llamado FACTOR LARGO) se construye un trinomio con los términos que se anotaron en el factor corto, en el siguiente orden: el primero al cuadrado, luego el primero por el segundo y, por último el segundo al cuadrado.

- Por último definimos los signos, de la siguiente manera: Si se trata de una suma de cubos, en el factor corto va signo positivo y en el factor largo van signos intercalados iniciando con positivo. Si tenemos una diferencia de cubos, en el factor corto va signo negativo y en el factor largo van signos positivos.

- Los siguientes son los modelos que resumen lo anterior:
Suma de Cubos: 𝑎3+𝑏3= 𝑎+𝑏 𝑎2−𝑎𝑏+𝑏2
Diferencia de Cubos: 𝑎3−𝑏3= 𝑎−𝑏 𝑎2+𝑎𝑏+𝑏2

IMPORTANTE: En algunas ocasiones el factor corto puede volverse a factorizar (debe revisarse). El factor largo no es necesario inspeccionarlo ya que no permite ser factorizado.

Ejemplo:

Factorizar: 27𝑥3+125𝑦9

Como puede observarse, es un binomio que reúne las características de una suma de cubos perfectos. Entonces, extraemos la raíz cúbica de cada término: 27𝑥33=3𝑥 ; 125𝑦93=5𝑦3.

Ahora procedemos a armar el factor corto y el factor largo, siguiendo las instrucciones que se dieron: = 3𝑥+5𝑦3 3𝑥 2− 3𝑥 5𝑦3 + 5𝑦3 2

Desarrollamos las operaciones pendientes en el factor largo:
= 3𝑥+5𝑦3 9𝑥2−15𝑥𝑦3+25𝑦6

Factorizar: 64𝑝15−343𝑡6

Como puede observarse, es un binomio que reúne las características de una diferencia de cubos perfectos. Entonces, extraemos la raíz cúbica de cada término: 64𝑝153=4𝑝5 ; 343𝑡63=7𝑡2.

Ahora procedemos a armar el factor corto y el factor largo, siguiendo las instrucciones que se dieron: = 4𝑝5−7𝑡2 4𝑝5 2+ 4𝑝5 7𝑡2 + 7𝑡2 2

Desarrollamos las operaciones pendientes en el factor largo:

= 4𝑝5−7𝑡2 16𝑝10+28𝑝5𝑡2+49𝑡4 ç
Publicado por en

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Suscribirse a: Enviar comentarios (Atom)